锐角三角函数的性质
同步训练
1、假如∠A为锐角，且sinA=0.6，那样（）
A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°
2、已知sinα＜cosplayα，那样锐角α的取值范围是（）
A．30°＜α＜45° B．0°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜90°
3、如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，则m的取值范围是（）
A．0＜m≤ 
B．0＜m≤
C．
＜m＜ D．0＜m≤
4、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：
，则大楼AB的高度约为（）（精准到0.1米，参考数据：
≈1.41，≈1.73，
≈2.45）
A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4
5、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：
1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．
A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.2
6、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）
A．6tan18°cm B．
cm C．6sin18°cm D．6cosplay18°cm
7、如图，斜坡AB的坡度i=1：2，坡脚B处有一棵树BC，某一时刻测得树BC在斜坡AB上的影子BD的长度为10米，这个时候测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC的高度为 __________ 米．
8、某货站用传送带传送货物，为了提升传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那样新传送带AC的长是__________米．
9、若α、β均为锐角，则以下有4个命题：
①若sinα＜sinβ，则α＜β；
②若α+β=90°，则sinα=cosplayβ；
③存在一个角α，使sinα=1.02；
④tanα=
．其中正确命题的序号是 __________．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）
10、（1）如图锐角的正弦值和余弦值都伴随锐角的确定而确定，变化而变化，试探索伴随锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）依据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这类锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“＞”“=”“＜”号），
若α=45°，则sinα__________cosplayα；
若0°＜α＜45°，则sinα __________cosplayα；
若45°＜α＜90°，sinα __________cosplayα．
11、太阳能光伏发电因其清洗、安全、便利、高效等特征，已成为世界各国常见关注和重点进步的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．
12、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：
1，为了便捷行人推车过天桥，有关部门决定减少坡度，使新坡面的坡度为1：
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是不是需要拆除？请说明理由
参考答案
1、分析：由sin30°==0.5，sin45°=
≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
解：∵sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故选B
2、分析：第一依据正余弦的转换办法，得：cosplayα=sin（90°-α），又sinα＜cosplayα，即sinα＜sin（90°-α），再依据正弦值伴随角的增大而增大，进行剖析．
解：∵cosplayα=sin（90°-α），
∴sinα＜cosplayα=sin（90°-α）．
又正弦值伴随角的增大而增大，
得α＜90°-α，
∴α＜45°．
又α是锐角，则α的取值范围是0°＜α＜45度．
故选B．
3、分析：点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB=m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD=DB=AB=3，OD=OA-AD=5，那样⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D=
=4，则AE=
=4
，再作BC⊥AE于C．由S△AOE= OA•OE=S△BOE+S△ABE，求出BC= ，CE= 
=，那样m的最大值为
．
解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
作O′D⊥AB于D，则AD=DB=AB=3，
∵OA=8，
∴OD=OA-AD=5，
∴O′E=O′A=OD=5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D= O′D==4，
∴OE=O′D=4，
∴AE= =4，，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE=OA•OE=S△BOE+S△ABE，
∴×8×4=×2×4+×4×BC，
∴BC=，
∵BE2=OB2+OE2=22+42=20，
∴CE==，，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤
故选A
4、分析：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6 +20（米），即可得出大楼AB的高度．
解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：，
∴BH：CH=1：
设BH=x米，则CH=x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x2+（x）2=122，
解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，
∴BG=GH-BH=15-6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°-45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6+20（米），
∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；
故选：D
5、分析：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，可得MN=EF，然后设ME=FN=x，分别在Rt△GME和Rt△NHF中表示出GM和HN的长度，最后依据GH=6米，列出方程求出x的值．
解：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，
可得四边形EFNM为矩形，
则MN=EF，
设ME=FN=x，
在Rt△GME中，
∵斜坡AD的坡度为1：
1.2，
∴ME：GM=1：
1.2，
∴GM=1.2x，
在Rt△NHF中，
∵斜坡BC的坡度为1：0.8，
∴NF：NH=1：0.8，
∴NH=0.8x，
则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，
解得：x=1.1．
故选B．
6、分析：依据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度．
解：由已知图形可得：tan18°=
，
木桩上升的高度h=6tan18°cm．
故选：A．
7、分析：依据题意第一借助勾股定理得出DF，DE的长，再借助锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出答案．
解：过点D作DF⊥BG，垂足为F，
∵斜坡AB的坡度i=1：2，
∴设DF=x，BF=2x，则DB=10m，
∴x2+（2x）2=102，
解得：x=2，
故DE=4，BE=DF=2，
∵测得太阳光线与水平线的夹角为60°，
∴tan60°=
=
=，
解得：EC=4
，
故BC=ED+BE=2+4（m），
故答案为：2+4
8、分析：依据题意第一得出AD，BD的长，再借助坡角的概念得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4，
∴AD=BD=ABsin45°=4×=4，
∵坡度i=1：，∴
=
=
，则DC=4，故AC=
=8（m）．故答案为：8．
9、分析：依据锐角三角函数正弦值随角度的增大而增大，与正弦余弦值与各边关系即可得出答案．
解：∵sinα＜sinβ，则α＜β；
故此选项正确；
②若α+β=90°，则sinα=cosplay（90°-α）=cosplayβ，
∴故此选项正确；
③存在一个角α，sinα=，
∴sinα≤1，
∴sinα=1.02，故此选项错误；
④tanα=．依据对应边之间关系得出，
故此选项正确．
故答案为：①②④．
10、分析：（1）依据锐角三角函数的定义，即可发现伴随一个锐角的增大，它的对边在渐渐增大，它的邻边在渐渐减小，故正弦值伴随角的增大而增大，余弦值伴随角的增大而减小．
（2）依据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，仅需比较角的大小．
（3）依据定义与等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再依据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．
解：（1）在图中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=
，
而＞＞，
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cosplay∠B1AC=
，cosplay∠B2AC=
，cosplay∠B3AC=，
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＞＞．
即cosplay∠B3AC＜cosplay∠B2AC＜cosplay∠B1AC；
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
（2）由（1）可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cosplay88°＜cosplay62°＜cosplay50°＜cosplay34°＜cosplay18°．
（3）若α=45°，则sinα=cosplayα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosplayα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosplayα．
故答案为：=，＜，＞．
11、分析：过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，依据三角函数的概念得到CH=90，在Rt△EFH中，依据三角函数的概念即可得到结论．
解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，
在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，
∵GD=50-30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，
连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，
在Rt△CDH中，CH==2CD=90，
∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290，
在Rt△EFH中，EF=EH•tan30°=290×=，
答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm
12、分析：（1）由新坡面的坡度为1：，可得tanα=tan∠CAB= =，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；
（2）第一过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：
1，新坡面的坡度为1：．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．
解：（1）∵新坡面的坡度为1：，
∴tanα=tan∠CAB==，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文化墙PM无需拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：
1，新坡面的坡度为1：，∴BD=CD=6，AD=6，
∴AB=AD-BD=6-6＜8，∴文化墙PM无需拆除．
